空间的距离

中学教书时间长了，一拿到解析几何，似乎只能想起距离和角度，角度和距离……

今天先聊距离吧。

1、空间两个点的距离

无需多说，简单易懂。设点

，则

2、空间点到直线的距离

看起来很简单，其实特别特别麻烦，真的，不骗你。你要是不怕麻烦，我就举个例子一起算算。要是怕麻烦，请运动手指划过这一部分内容。

例、求点

到直线

的距离。

解法一、直接过点M作直线的垂线，垂足为P，则PM就是点M到直线的距离

面

的法向量为

面

的法向量为

所以，直线的方向向量为(3,3,2)。（此处略去草稿若干行）

所以，过点M且垂直于直线的面

的法向量为(3,3,2)

设平面

的方程为

代入点M(1,-1,0)得D=0

所以平面

的方程为

则直线与面

的交点P为

解得

（此处亦省略草稿若干行）

所以，点M到直线的距离为

解法二：点M到直线的距离=点M到直线上点的距离的最小值

由

得

设直线上的点为

则

当

时，

这个方法还算比较好啦，至少不会让我算得发疯。

解法三：设直线的方向向量为

，如果P为直线上的点，则距离

取直线

上的点P(0,0,-1)，已知M(1,-1,0)则

由解法一知直线的方向向量为

则

此法充分利用了向量，属于比较高档的解法了吧。

3、点到面的距离

前面已经写过一次推文，代公式即可

4、两平行线间的距离

很简单啦，直接化归成点到直线的距离即可。呵呵呵

5、异面直线间的距离

异面直线

和

间的距离，我们可以这样求。

过

上任一点作

的平行线

，

和

确定一个平面α

则异面直线

和

间的距离

=直线

和平面α间的距离

=直线

上任一点和平面α间的距离

例、已知两直线

，求异面直线

和

间的距离。

解：由已知直线

的方向向量

直线

的方向向量

所以过

且与

平行的平面α的法向量为

取直线

上的点（0，0，-1），

上的点（1，1，1）则

平面α的方程为z-1=0

异面直线

和

间的距离

说起点到平面的距离，我想起高中学过的一个公式。

若点P为平面外一点，点Q为平面内一点，则点P到平面的距离

那么，我们也可以利用这个公式来改进本题的解法。

解法二：由已知直线

的方向向量

直线

的方向向量

所以过

且与

平行的平面α的法向量为

取直线

上的点P（0，0，-1），

上的点Q（1，1，1）则

异面直线

和

间的距离

表面上看只是省略了一个求面的方程的步骤，实际上是完全不同的思路。

练习：求异面直线

间的距离。

答案：

空间距离可以分为哪几类？

空间距离可以分为，公众距离，社交距，个人距离，亲密距离。公众距离，其近范围为12-25英尺，远范围在25英尺外，一般出现于演讲者与听众，彼此互不熟悉的交谈及非正式的场合。

社交距离：其近范围为120~370cm。工作场合多采用这种距离交谈，在小型招待会上，与没有过多交往的人打招呼可采用此距离，是体现出一种社交性或礼节上的较正式关系。

个人距离：范围为45cm~120cm，一般在进行非正式的个人交谈时的最佳距离，保持在50cm以外为宜。

亲密距离：其近范围在6英寸之内，彼此间非常亲密，相互能感受到对方的体温、气味和气息。一般是亲人或者很熟的朋友、情侣和夫妻才会出现这种社交距离。

空间距离把控

心理学家发现，任何一个人需要在自己的周围有一个自己能够把握的自我空间，这个空间的大小会因不同的文化背景、环境、行业、不同个性等而不同。

当人们进行交际的时候，交际双方在空间所处位置的距离具有重要的意义，它不仅告诉我们交际双方的关系、心理状态，而且也反映出民族和文化特点。空间的观念是立体的，不仅包括领域的大小距离，包含领域的高度。

“拉开距离”具有保持身份的威严的功能，而保持空间领域的高度又是支配权利的一种方式。法庭、教堂、礼堂、会议厅的布置都十分注重利用空间距离来发挥这一功能，以表现优越感与从属关系。

在我国，长辈和领导面朝南坐，在西方则坐在椭圆桌子头的位置，等等，不一而足，这些都说明不同文化背景的人对空间的运用和安排都有着各自的固定模式，从而构成无数文化差异，让空间的使用具有了更为丰富的文化功能。

空间两点间的距离公式