0为什么不能做除数？
最近有个小朋友问我
“为什么不能除以0”。
以前我们听到最多回答就是：
“没意义” “自己琢磨去吧”。
那到底怎么理解呢？
小学时期
第一次接触除法是在小学二年级学习平均分的时候
假如有12个苹果，
平均分给3个人 12÷3=4（个），对应平均每人分4个。平均分给2个人 12÷2=6（个），对应平均每人分6个。平均分给1个人 12÷1=12（个），对应平均每人分12个。如果要求平均分给0个人，人都没有让我怎么分？没有实际意义啊，所以不能除以0。
这种虽然解释没错，但有木有更“高端”的解释。
中学时期
在中学，我们更进一步明白了除法是乘法的逆运算，也掌握了字母表示数这项技能。
如果非要说，有一个数a满足：
1÷0=a
按照以往乘除法互为逆运算的规律，就会得到
1=0×a=0。
出现了矛盾。与我们以前的数的体系不一致。
那0÷0会产生矛盾吗？
根据 4×3=12 知 12÷3=4，
根据 4×2=8 知 8÷2=4，
根据 4×1=4 知 4÷1=4，
根据 4×0=0，知 0÷0=4,
看着好像没问题，但
1×0=0， 0÷0=1，
2×0=0， 0÷0=2，
3×0=0， 0÷0=3，
a×0=0， 0÷0=a.
可以推出0÷0可以等于任何数，这不科学哇！
说好的乘除法互为逆运算怎么会出现矛盾呢！
大学时期
学习了抽象代数之后，我们知道了域的定义。
例如有理数域Q，
Q中元素对于加法运算是一个加法交换群。
Q/0中的元素对于乘法运算是一个乘法交换群。
0是加法单位元，
1是乘法单位元，
减法是利用加法逆元定义的，
除法是利用乘法逆元定义的，
注意，再考虑乘法交换群的时候，Q/0，0元素被拿了出去。
也就是说，0元素没有乘法逆元，定义不了以0做除数的除法。
这就意味着0不能做除数。
有了域的严格定义后，避开了0做除数的问题。
总的来说，如果想让0做除数，就会与已经建立的数系，产生矛盾。
为什么0不可以作为除数？
假设 0可以作为除数：那么有 n÷0=一个数（n为一个任意实数）；比如 6÷0=一个数；
但是，由于乘法可以作为除法的逆运算：
也就是：一个数 × 0=6；
但是显然任何数乘0都是0，所以不存在这样的数。
所以这样的除数为0的运算就是没有意义的。
下面解释为什么被除数为0有意义：
当被除数为0时： 有 0 ÷ 一个数=另一个数；
继续用乘法： 那么一个数×另一个等于0；
显然当上面中的“一个数”不为0时，“另一个数”为0时等式成立，
式子是有意义的。
有的人可能会问那么 0÷0=一个数不也可以吗？
但是这又与最开始的0不能做除数相违背了，所以这样也是不对的。
0为什么不能作除数？
规定一种运算，它的运算结果必须是存在的，而且应该是唯一确定的。当除数为“0”时，被除数不是“0”，商是不存在的；当除数为“0”时，被除数也是“0”，商得不到一个确定的数，所以0不能作为除数。大家都知道“0”做除数没有意义。我们可以分两种情况加以说明。一种情况是：当除数是“0”，而被除数不是“0”，如7÷0，12÷0等。那就是要求出与“0”相乘的积不等于“0”的“商”来，0乘？=7，0×？=12。因为，任何数与“0”相乘的积都“0”，所以，在这种情况下，商是不存在的，除法计算没有结果。
另一种情况是：当除数是“0”，而且被除数也是“0”，如0÷0。那就是要求出与“0”相乘的积等于“0”的“商”来，0×？=0。因为，任何数与“0”相乘的积都是“0”，所以，在这种情况下，不能得到一个确定的商，商可以是任何数，即商有无限多个。
我们知道，规定一种运算，它的运算结果必须是存在的，而且应该是唯一确定的。但是，当除数为“0”时，被除数不是“0”，商是不存在的；当除数为“0”时，被除数也是“0”，商得不到一个确定的数。因此，必须明确规定“0”不能作除数。因为有了“0”不能作除数这条规定以后，在除法的基本性质中，被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变。在分数的基本性质中，一个分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。在比的基本性质中，比的前项和后项同时乘以或者同时除以相同的数（零除外），比值不变。“零除外”这三个字在完整表述除法、分数、比的基本性质时不能丢。
由此说明，在除法里，“0”不能作除数；对于分数来说，就是分母不能是“0”；对于比来说，就是比的后项不能是“0”。当然，应该强调的是，除法中的除数、分数中的分母、比的后项这三者不是一回事。“比”、“分数”和“除法”之间尽管有着上述的一些联系，但它们毕竟是三个不同的概念。“比”是指两个数（或量）的倍数关系，“分数”是一个数，“除法”是一种运算。